Der 14. März ist in diesem Jahr kein regulärer Pi-Tag. Überall feiern Mathematikbegeisterte das Ereignis als Ultimate Pi Day, da das Datum nicht nur den ersten drei, sondern den ersten fünf Stellen von pi (3.1415) entspricht. Dieser mathematische Zusammenfluss wird sich am 14. März 2115 für ein Jahrhundert nicht wiederholen.
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- Die Welt ist voller Kreise
Als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert, ist pi ( π ) sowohl eine transzendentale als auch eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass es niemals als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann und ohne sich wiederholendes Muster auf unbestimmte Zeit fortgesetzt wird. Pi ist nicht die einzige irrationale Zahl - es gibt zum Beispiel auch Eulers Zahl (e) und den goldenen Schnitt ( φ oder phi). Aber es ist weiterhin eine Quelle der Faszination, da seine Ursprünge leicht zu erklären sind, sagt Mario Livio, Astrophysiker am Space Telescope Science Institute in Maryland.
„Jeder kann verstehen, wie Pi abgeleitet wird. Alle anderen Zahlen sind komplexer. Bei der Zahl phi handelt es sich beispielsweise um eine bestimmte Unterteilung einer Linie, und bei der Zahl e müssen Sie wissen, was ein Logarithmus ist “, sagt Livio, Autor des Buches„ Ist Gott ein Mathematiker? “.
Ein weiterer wichtiger Aspekt von Pi ist, dass es ein unheimliches Talent hat, in mathematischen Formeln zu erscheinen, von denen viele für alltägliche Prozesse von der Bildverarbeitung bis zur GPS-Navigation wichtig sind. Hier ist nur eine kleine Auswahl der häufig verwendeten Formeln, die pi enthalten:
Die Fourier-Transformation
Dieses nach dem französischen Mathematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier benannte mathematische Werkzeug zerlegt ein Signal in seine Teilfrequenzen - ähnlich wie ein Musikakkord in seine Teilnoten zerlegt werden kann. Im Wesentlichen sind Fourier-Transformationen ideal für die Verarbeitung von wellenbasierten Signalen wie Schall oder Licht und zum Auffinden von Mustern. Das macht die Fourier-Transformation zu einem grundlegenden Werkzeug in der modernen digitalen Welt.
„Es wurde als der wichtigste Algorithmus bezeichnet, der jemals von der Menschheit entwickelt wurde. Das mag eine Übertreibung sein, ist es aber vielleicht nicht “, sagt Glen Whitney, Gründer und Direktor des National Museum of Mathematics in New York City. Fourier-Transformationen werden ständig verwendet, um digitale Bilder zu bereinigen, Popstars automatisch abzustimmen und ferne Planeten zu finden, die andere Sterne umkreisen. Das Tool ist auch für die Voice-to-Text-Funktionen von entscheidender Bedeutung, die heute bei Smartphones Standard sind. „Wenn Sie Siri oder Google Now verwenden, besteht einer der ersten Schritte darin, Ihre Stimme zu verwenden und eine Fouriertransformation durchzuführen. Es stellt sich heraus, dass es viel einfacher ist, Vokale zu erkennen, wenn Sie sich ihre Fouriertransformationen ansehen, als wenn Sie sich die ansehen Das Original signalisiert sich selbst “, sagt Whitney.
(Illustration von Victoria Jaggard) Pi erscheint in der Fourier-Transformation, weil einer der Bestandteile oder Ausdrücke der Formel mit Sinus und Cosinus und den Winkeln assoziiert ist, die von einem Teilchen erzeugt werden, das sich um einen Kreis bewegt. "Wenn Sie eine Formel haben, die sich mit Kreisen oder Winkeln befasst, werden Sie nicht überrascht sein, wenn Pi auftaucht", sagt Whitney.
Heisenberg-Unsicherheitsprinzip
Eine der Säulen der Quantenmechanik ist das Heisenbergsche Unsicherheitsprinzip, wonach ein Beobachter nicht gleichzeitig die Position und die Geschwindigkeit eines subatomaren Teilchens kennen kann. Je genauer die Position eines Teilchens bekannt ist, desto weniger kann über seine Geschwindigkeit bekannt sein.
(Illustration von Victoria Jaggard) Das Auftreten von pi in Heisenbergs Unschärferelation ist sinnvoll, wenn Sie erkennen, dass Position und Impuls in der Formel Fourier-Transformationen voneinander sind, sagt Whitney. Das Unsicherheitsprinzip ist in der modernen Welt wichtig, da es das Verhalten von Lichtteilchen oder Photonen in faseroptischen Kommunikationssystemen beschreibt. „Was uns sagt, ist, dass wir die Position und den Impuls von Photonen nicht mit äußerster Präzision kennen können. Sie können keine Kommunikationsprotokolle entwerfen, die gegen Heisenbergs Ungewissheitsprinzip verstoßen, weil sie nicht funktionieren. “
Stokes Gesetz
Das Gesetz von Stoke berechnet die Kraft, die erforderlich ist, um eine kleine Kugel - das heißt einen dreidimensionalen Kreis - mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch eine viskose Flüssigkeit zu bewegen. Es hat Anwendungen in Bereichen von Geowissenschaften bis Medizin.
(Illustration von Victoria Jaggard) "Das Gesetz befasst sich speziell mit der Auswirkung der Viskosität auf eine Kugel in der Flüssigkeit", sagt Whitney. Was die praktischen Verwendungen des Stoke-Gesetzes angeht, suchen Sie nicht weiter als bis zu Ihrem Auto. „Jahrzehntelang haben Unternehmen dafür gesorgt, dass Ihr Motoröl die richtige Viskosität für Ihr Auto aufweist, indem sie buchstäblich eine Reihe von Testkugeln in das Öl getropft haben und die Zeit gemessen haben, die sie für den Fall durch die Flüssigkeit benötigt haben“, sagt Whitney. Heutzutage wird zur Messung der Ölviskosität am häufigsten ein Kapillarrohrviskosimeter verwendet, für das keine Kugeln erforderlich sind. Das Ergebnis wird jedoch in Maßeinheiten angegeben, die als Centistokes bezeichnet werden.
Eulers Formel
Die nach dem Schweizer Mathematiker Leonard Euler benannte Version dieser Formel, die Pi enthält, vereint einige der faszinierendsten Zahlen der Mathematik an einem Ort:
(Illustration von Victoria Jaggard) „Jeder findet das einfach unglaublich. Alle diese Zahlen, die wir als besonders betrachten, erscheinen in einer schönen Gleichung “, sagt Livio. Während diese kernige Formel bei Mathematikern Ehrfurcht wecken kann, ist die nützlichere Form der Gleichung etwas länger:
(Illustration von Victoria Jaggard) Diese entpackte Version von Eulers Formel ist ein unglaubliches Werkzeug, sagt Whitney. Zum Beispiel ist es wichtig, eine Elektronik zu entwerfen, die Wechselstrom oder Wechselstrom verwendet. „Die Euler-Formel in der erweiterten Form bedeutet, dass Sie komplexe oder imaginäre Zahlen zum Analysieren und Entwerfen von Wechselstromkreisen verwenden können“, sagt Whitney. Dies liegt daran, dass in einem Wechselstromkreis die Spannung eine Größe ist, die im Laufe der Zeit schwankt - normalerweise 60 Mal pro Sekunde, zum Beispiel bei einer normalen US-Stromversorgung. "Die Vollversion der Euler-Formel zeigt, wie wir komplexe Zahlen als praktische Abkürzung für die Modellierung oszillierender Phänomene verwenden können", sagt Whitney.
Einsteins Feldgleichungen
Albert Einsteins Feldgleichungen sind ein Kernbestandteil seiner allgemeinen Relativitätstheorie und beschreiben, wie die Schwerkraft aus Masse und Energie die Krümmung von Raum und Zeit erzeugt.
(Illustration von Victoria Jaggard) "Die Beschreibung, dass Krümmung Geometrie beinhaltet, und da die ursprüngliche Definition von pi aus Geometrie stammt, ist das Auftreten in dieser Gleichung nicht so überraschend", sagt Livio. Die allgemeine Relativitätstheorie enthüllt nicht nur eine grundlegende Wahrheit über die Funktionsweise des Universums, sondern hat auch viele praktische Anwendungen. Zum Beispiel wären die Satelliten, aus denen sich das für die Navigation verwendete globale Positionsbestimmungssystem zusammensetzt, hoffnungslos nicht synchron, wenn die Ingenieure die von der Theorie vorhergesagten Zeitdilatationseffekte nicht berücksichtigen würden.
