Vielleicht hat Schönheit in Kunst oder Literatur in den letzten Jahren ihre Aktualität als Maßstab oder Kriterium für hervorragende Leistungen verloren, die als zu subjektiv oder kulturell vermittelt angesehen werden. Für Mathematiker ist Schönheit als ewige Wahrheit jedoch nie aus der Mode gekommen. "Schönheit ist die erste Prüfung: Es gibt keinen festen Platz auf dieser Welt für hässliche Mathematik", schrieb der britische Zahlentheoretiker Godfrey Hardy 1941.
Um einen Eindruck von mathematischer Schönheit zu bekommen, begeben Sie sich zunächst in Ihre Lieblingskneipe und bestellen Sie einen kalten Krug Bier. Legen Sie es dreimal auf eine Papierunterlage, wobei sich drei Kondensationsringe bilden. Achten Sie dabei darauf, dass sich alle drei Ringe an einem Punkt schneiden. Fragen Sie nun Ihre Begleiter: Wie groß wäre ein Becher, um die anderen drei Schnittpunkte abzudecken? Man geht fast immer davon aus, dass nur ein riesiger Becher diesen Zweck erfüllen würde. Die überraschende Antwort: die gleiche Tasse! Es ist eine absolut narrensichere Lösung. (Siehe Abbildung links für zwei gleichwertige Lösungen. In jedem Fall sind die durchgezogenen Kreise die ersten drei Ringe. Der gestrichelte Kreis ist der vierte Ring, der den Becher darstellt, der die anderen drei Schnittpunkte abdeckt.)
Dieser Satz wurde 1916 von Roger A. Johnson veröffentlicht. Johnsons Zirkelsatz demonstriert zwei der wesentlichen Anforderungen an die mathematische Schönheit. Erstens ist es überraschend. Sie erwarten nicht, dass der gleich große Kreis in der Lösung erneut angezeigt wird. Zweitens ist es einfach. Die mathematischen Konzepte, Kreise und Radien, sind grundlegende Konzepte, die sich im Laufe der Zeit bewährt haben. Der Satz von Johnson kommt jedoch in einem hervorstechenden Punkt in der Schönheitsabteilung zu kurz. Die besten Sätze sind auch tief, enthalten viele Bedeutungsebenen und enthüllen mehr, wenn Sie mehr über sie erfahren.
Welche mathematischen Fakten erfüllen diesen hohen Schönheitsstandard? Der deutsche Mathematiker Stefan Friedl hat sich für den Geometrisierungssatz von Grigory Perelman ausgesprochen, für den der Beweis erst 2003 erbracht wurde. Der Satz, der in der Welt der Mathematiker für Aufsehen gesorgt hat, ist ein wichtiger Schritt in der Klassifizierung der dreidimensionalen Topologie Leerzeichen. (Sie können sich diese Räume als mögliche alternative Universen vorstellen.) "Der Geometrisierungssatz", so Friedl Avers, "ist ein Objekt von atemberaubender Schönheit."
Auf die einfachsten Begriffe reduziert heißt es, dass die meisten Universen eine andere natürliche geometrische Struktur haben als die, die wir an der High School lernen. Diese alternativen Universen sind nicht euklidisch oder flach. Die Frage hat mit der Krümmung des Raumes selbst zu tun. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu erklären, was dies bedeutet. Das mathematisch genaueste ist zu sagen, dass alternative Universen eher "hyperbolisch" oder "negativ gekrümmt" als flach sind.
Mathematiker fangen erst an, sich mit den Implikationen auseinanderzusetzen. Astrophysikalische Daten zeigen, dass unser eigenes Universum flach ist. In diesen alternativen Universen ist Flachheit jedoch nicht der natürliche Zustand. Nach dem Satz von Perelman bildet unser scheinbar flaches Universum eine überraschende Ausnahme.
Ein weiterer Grund, warum das Theorem internationale Bekanntheit erlangte, hat mit dem Mathematiker selbst zu tun. 2010 lehnte der zurückgezogen lebende Russe einen Millionenpreis für seinen Durchbruch am Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, ab. Für Perelman war mathematische Schönheit offensichtlich nichts, wofür man kaufen und bezahlen konnte. Das Verständnis des Universums zu verändern, war eine Belohnung genug.
