Dort lebst du also dein Leben, bist zufrieden damit, wie die Welt funktioniert: oben ist oben, unten ist unten, die Sonne geht im Osten auf und geht im Westen unter. Dann versuchen ein paar Mathematiker aus dem Nichts, Ihnen zu sagen, dass die Summe aller positiven ganzen Zahlen, also 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... und so weiter bis unendlich, gleich ist. -1/12.
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Das ist doch klar lächerlich, oder? Wie können immer größere Zahlen zusammen eine kleine Zahl ergeben? Wie können ganze Zahlen einen Bruch ergeben? Wie können positive Zahlen negativ sein?
Sie sehen sich also den Rest des Videos (oben) an, das von Numberphile erstellt wurde, einer Gruppe von Mathematik-Wonks mit einem beliebten (und im Allgemeinen vertrauenswürdigen) YouTube-Kanal über Mathematik. (Sieh es dir an. Es lohnt sich. Wir werden warten.) Ihr Beweis scheint absolut solide zu sein. Ein Haufen wirklich kluger Leute, vom Astronomen Phil Plait bis zu den Leuten von Physics Central, verdoppeln die Behauptung. "Es stellt sich heraus, dass die Schlussfolgerungen, die sie in diesem Video ziehen, buchstäblich richtig sind. Sie können eine unendliche Reihe positiver Zahlen hinzufügen, und sie summieren sich zu einem negativen Bruch", sagte Zopf.
Das ist es also, richtig? Mathe ergibt keinen Sinn und die Welt ist seltsam.
Aber das ist noch nicht das Ende der Geschichte.
Eine zweite Gruppe von mathematisch veranlagten Personen, darunter die wissenschaftliche amerikanische Bloggerin Evelyn Lamb und der Physiker Greg Gbur, ging ins Internet, um zu zeigen, dass die Summe aller positiven Zahlen gleich -1/12 sein kann (was zur Folge hat, dass sie Erklären, wird die ganze Zeit verwendet, um physikalische Probleme genau zu lösen. Diese verblüffende Antwort funktioniert wirklich nur, wenn Sie einige Kernkonzepte der Mathematik völlig neu definieren.
Phil Plait und die Physics Central-Crew kamen irgendwann vorbei, und es war das Follow-up von Physics Central, das uns am meisten geholfen hat, uns um dieses Dilemma zu kümmern.
Laut Physics Central ist 1 + 2 + 3 + 4 +… nur gleich -1/12, weil die Mathematiker das Gleichheitszeichen neu definiert haben. In diesem mathematischen Stil, der als analytische Fortsetzung bezeichnet wird, bedeutet "=" nicht mehr "ist gleich" und "ist verbunden mit". Heikle Mathematiker.
Dieser mathematische Trick geht weit zurück, sagt Physics Central. Es ist in der Arbeit des wegweisenden indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan, zum Beispiel:
Ramanujan ist auch ein bisschen schuld. Wie sollen wir denn verstehen, was er hier sagen wollte?
"Ich sagte ihm, dass die Summe einer unendlichen Anzahl von Begriffen der Reihe: 1 + 2 + 3 + 4 + · · = −1/12 nach meiner Theorie. Wenn ich Ihnen dies sage, werden Sie mich sofort darauf hinweisen die Irrenanstalt als mein Ziel. "
-S. Ramanujan in einem Brief an GH Hardy
Sollen wir erkennen, dass "nach meiner Theorie" bedeutet, dass "=" nicht gleich bedeutet?
Ich habe seine ursprüngliche Arbeit nicht gefunden, aber einige Leute haben eine Berechnung von Euler reproduziert, die auf die gleiche Weise ein Gleichheitszeichen verwendet. Wenn die beiden Seiten nicht gleich sind, kann man, wie ich mich aus der Mathematik der zweiten Klasse erinnere, kein Gleichheitszeichen verwenden.
Also, ist 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... = -1/12? Ja, aber nur, wenn ein Gleichheitszeichen für Sie etwas anderes bedeutet als "ist gleich".
Nun, das soll nicht heißen, dass das Numberphile-Team gerade mit unseren Köpfen rumgespielt hat. Der -1 / 12-Wert kann auf verschiedene Arten bewiesen werden, und das Ergebnis ist sicherlich nützlich. Aber 1 + 2 + 3 + 4 + ... ist definitiv nicht "gleich" -1/12 in irgendeiner Weise, die eine Person normalerweise darüber denken würde.
Dass das Numberphile-Team einen solchen Sprung gemacht hat, ohne es den Leuten zu erklären, sagt der Physiker Greg Gbur, ist eine Schande:
Das Video macht es so einfach und unumstritten, fast offensichtlich. Aber in ihrem Argument sind einige große mathematische Annahmen verborgen, die es meiner Meinung nach sehr irreführend machen. Anders ausgedrückt: In einem eingeschränkten mathematischen Sinn kann man der ansteigenden positiven Summe den Wert -1/12 zuweisen. Aber im üblichen Sinn der Hinzufügung, den die meisten Menschen intuitiv benutzen würden, ist das Ergebnis unsinnig.
Für mich ist dies eine wichtige Unterscheidung: Ein deprimierend großer Teil der Bevölkerung geht automatisch davon aus, dass Mathematik eine nicht intuitive, bizarre Zauberei ist, die nur der Superintelligent ergründen kann. Ein solch verrücktes Ergebnis ohne Qualifikation zu zeigen, verstärkt diese Sichtweise nur und ist meiner Meinung nach ein Nachteil für die Mathematik.
Wir haben noch nicht einmal versucht, auf lange Beweise zurückzugreifen, um diese Debatte hier zu klären, aber wenn Sie mehr wollen, schauen Sie sich Folgendes an:
Korrektur: Führt 1 + 2 + 3 + 4 + aus. . . = -1 / 12? Absolut nicht! Von Physics Central
Infinite-Serie: nicht ganz so seltsam, wie manche von Greg Gbur sagen würden
Follow-up: Die Infinite-Serie und das überwältigende Ergebnis von Phil Plait
Entspricht 1 + 2 + 3 ... wirklich -1/12? von Evelyn Lamb
