Am 20. März wurde der amerikanisch-kanadische Mathematiker Robert Langlands mit dem Abel-Preis für sein Lebenswerk in Mathematik ausgezeichnet. Langlands Forschungen zeigten, wie Konzepte aus Geometrie, Algebra und Analyse durch eine gemeinsame Verknüpfung mit Primzahlen zusammengeführt werden können.
Wenn der norwegische König Langlands im Mai die Auszeichnung überreicht, wird er die jüngsten 2.300-jährigen Bemühungen um das Verständnis von Primzahlen ehren, die wahrscheinlich den größten und ältesten Datensatz in der Mathematik darstellen. Als Mathematiker, der sich diesem „Langlands-Programm“ verschrieben hat, bin ich fasziniert von der Geschichte der Primzahlen und davon, wie die jüngsten Fortschritte ihre Geheimnisse aufdecken. Warum haben sie Mathematiker seit Jahrtausenden gefesselt?
Um Primzahlen zu studieren, spannen Mathematiker ganze Zahlen durch ein virtuelles Netz nach dem anderen, bis nur noch Primzahlen übrig sind. Dieses Siebverfahren erzeugte im 19. Jahrhundert Tabellen mit Millionen von Primzahlen. Es ermöglicht heutigen Computern, Milliarden von Primzahlen in weniger als einer Sekunde zu finden. Die Kernidee des Siebs hat sich jedoch in über 2.000 Jahren nicht geändert.
„Eine Primzahl ist die, die nur von der Einheit gemessen wird“, schrieb der Mathematiker Euklid 300 v. Chr. Dies bedeutet, dass Primzahlen nicht gleichmäßig durch eine kleinere Zahl als 1 geteilt werden können. Gemäß der Konvention zählen Mathematiker selbst nicht als 1 eine Primzahl. Euklid hat die Unendlichkeit der Primzahlen bewiesen - sie bleiben für immer bestehen -, aber die Geschichte legt nahe, dass es Eratosthenes war, der uns das Sieb gab, um die Primzahlen schnell aufzulisten.
Hier ist die Idee des Siebs. Filtern Sie zuerst Vielfache von 2, dann 3, dann 5, dann 7 - die ersten vier Primzahlen. Wenn Sie dies mit allen Zahlen von 2 bis 100 tun, bleiben nur Primzahlen übrig.
Durch Sieben von Vielfachen von 2, 3, 5 und 7 bleiben nur die Primzahlen zwischen 1 und 100 übrig. (Mit freundlicher Genehmigung von MH Weissman) Mit acht Filterungsschritten kann man die Primzahlen bis zu 400 isolieren. Mit 168 Filterungsschritten kann man die Primzahlen bis zu 1 Million isolieren. Das ist die Kraft des Siebs von Eratosthenes.
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Eine frühe Figur in der Tabellierung von Primzahlen ist John Pell, ein englischer Mathematiker, der sich der Erstellung von Tabellen mit nützlichen Zahlen verschrieben hat. Er war motiviert, alte arithmetische Probleme von Diophantos zu lösen, aber auch durch eine persönliche Suche, mathematische Wahrheiten zu organisieren. Dank seiner Bemühungen wurden die Primzahlen bis zu 100.000 im frühen 18. Jahrhundert weit verbreitet. Bis 1800 hatten unabhängige Projekte die Primzahlen auf 1 Million tabelliert.
Um die mühsamen Siebschritte zu automatisieren, stempelte ein deutscher Mathematiker namens Carl Friedrich Hindenburg mit einstellbaren Schiebereglern ein Vielfaches auf einer ganzen Seite eines Tisches gleichzeitig aus. Ein anderer Low-Tech-Ansatz, der jedoch effektiv ist, verwendet Schablonen, um die Vielfachen zu lokalisieren. Mitte des 19. Jahrhunderts hatte der Mathematiker Jakob Kulik ein ehrgeiziges Projekt gestartet, um alle Primzahlen bis zu 100 Millionen zu finden.
Eine von Kulik verwendete Schablone zum Sieben der Vielfachen von 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Bild mit freundlicher Genehmigung von Denis Roegel, Autor zur Verfügung gestellt) Diese „Big Data“ des 19. Jahrhunderts hätten möglicherweise nur als Referenztabelle gedient, wenn Carl Friedrich Gauss sich nicht entschlossen hätte, die Primzahlen für sich selbst zu analysieren. Ausgerüstet mit einer Liste von Primzahlen bis zu 3 Millionen, begann Gauß, sie zu zählen, jeweils eine „Chiliade“ oder eine Gruppe von 1.000 Einheiten. Er zählte die Primzahlen auf 1.000, dann die Primzahlen zwischen 1.000 und 2.000, dann zwischen 2.000 und 3.000 und so weiter.
Gauß entdeckte, dass die Primzahlen mit zunehmender Zählung nach einem Gesetz des „inversen Logs“ allmählich weniger häufig werden. Das Gaußsche Gesetz zeigt nicht genau, wie viele Primzahlen es gibt, aber es gibt eine ziemlich gute Schätzung. Zum Beispiel sagt sein Gesetz 72 Primzahlen zwischen 1.000.000 und 1.001.000 voraus. Die korrekte Anzahl beträgt 75 Primzahlen, was einem Fehler von 4 Prozent entspricht.
Ein Jahrhundert nach Gauß 'ersten Untersuchungen wurde sein Gesetz im „Primzahlsatz“ bewiesen. Der prozentuale Fehler nähert sich bei immer größeren Primzahlenbereichen Null. Die Riemann-Hypothese, ein Millionen-Dollar-Preisproblem, beschreibt auch, wie genau Gauß 'Schätzung tatsächlich ist.
Der Primzahlsatz und die Riemannsche Hypothese erhalten die Aufmerksamkeit und das Geld, aber beide knüpfen an frühere, weniger glamouröse Datenanalysen an.
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Heute stammen unsere Datensätze eher aus Computerprogrammen als aus handgeschnittenen Schablonen, aber Mathematiker finden immer noch neue Muster in Primzahlen.
Mit Ausnahme von 2 und 5 enden alle Primzahlen mit der Ziffer 1, 3, 7 oder 9. Im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass diese möglichen letzten Ziffern gleich häufig sind. Mit anderen Worten, wenn Sie sich die Primzahlen bis zu einer Million ansehen, enden ungefähr 25 Prozent bei 1, 25 Prozent bei 3, 25 Prozent bei 7 und 25 Prozent bei 9.
Vor ein paar Jahren wurden die Stanford-Zahlentheoretiker Lemke Oliver und Kannan Soundararajan von Macken in den letzten Ziffern der Primzahlen überrascht. In einem Experiment wurde sowohl die letzte Ziffer einer Primzahl als auch die letzte Ziffer der nächsten Primzahl untersucht. Zum Beispiel ist die nächste Primzahl nach 23 29: Man sieht eine 3 und dann eine 9 in ihren letzten Ziffern. Sieht man 3 dann 9 öfter als 3 dann 7 unter den letzten Ziffern der Primzahlen?
Häufigkeit der letzten Ziffernpaare unter aufeinanderfolgenden Primzahlen bis zu 100 Millionen. Übereinstimmende Farben entsprechen übereinstimmenden Lücken. (MH Weissman, CC BY) Zahlentheoretiker erwarteten einige Variationen, aber was sie fanden, übertraf die Erwartungen bei weitem. Primzahlen sind durch unterschiedliche Lücken getrennt; Beispiel: 23 ist sechs Ziffern von 29 entfernt. 3-dann-9-Primzahlen wie 23 und 29 sind jedoch weitaus häufiger als 7-dann-3-Primzahlen, obwohl beide aus einer Lücke von sechs kommen.
Mathematiker fanden bald eine plausible Erklärung. Aber wenn es um das Studium aufeinanderfolgender Primzahlen geht, beschränken sich Mathematiker (meistens) auf Datenanalyse und Überzeugungsarbeit. Beweise - der Goldstandard der Mathematiker, um zu erklären, warum die Dinge wahr sind - scheinen Jahrzehnte entfernt zu sein.
Dieser Artikel wurde ursprünglich auf The Conversation veröffentlicht.
Martin H. Weissman, außerordentlicher Professor für Mathematik, Universität von Kalifornien, Santa Cruz
